1 Ekim 2013 Salı

Éylemsizlik İlkesi ile Hamilton İlkesi

Esenlikler,

Bu değişik yazıda, Doğa'nıñ iki ilkesini kafa kafaya çarpıştıracağız. Biri Galilei'iñ gözlemlere dayanarak ortaya çıkardığı, klasik doğabiliminiñ tabanını oluşturan éylemsizlik ilkesi; diğeri ise Hamilton'uñ doğayı sağlam bir añlayışa oturtmak için ortaya koyduğu azrı (eñ az) éylem ilkesi. İkisi de éylem dénen kavramla ilgili ilkeler. Tabi burada éylem dérken doğadaki nesneleriñ ölçülebilir hareketinden söz édiyoruz, yoksa oturma éylemi, Gézi Parkı éylemi vs. değil!

Yazınıñ soñunu şimdiden söylemek, okuyucuya né tür bir duygu uyandırıyor bilmiyorum, ancak yazar açısından çok eğlenceli gerçekten. O yüzden kendimi tutmayıp söylüyorum: yazınıñ soñunda azrı éylem ilkesiniñ, éylemsizlik ilkesi üzerine bir geñelleme olduğunu göreceğiz. Dahası, bu iki ilkeniñ de doğanıñ eñ doğal ilkelerinden olduklarını açıklığa kavuşturacağız. Démek istediğim, bu ilkeleriñ tersini düşünmeniñ tümüyle çelişkili olacağına gerçekten iknâ olacağız.

Yazıda matematiksel ifâdeler kullanmaktan çekinmeyeceğim, ancak kullanacağım matematik sıfır düzeyde olacak: toplama, çarpma.
 

Éylem nédir?

Güzel soru gerçekten. Nétekim, bunu sağlam, iyi tanımlanmış doğacıl (fiziksel) bir nicelik olarak bétimlemek gerekir. Hız gibi, ivme gibi, érk (enerji) gibi iyi tanımlı olmalıdır. Alman matematikçi Gaus (Gauß diye yazılır), İngiliz matematikçi Hamilton, Fransız matematikçiler Lagranj (Lagrange) ve Mopörtvi (Maupertuis), özünde tam olarak bunu yapmışlardır. Ancak éylemiñ gerçek bir tanımını, o güne dék yapan da çıkmış sayılmaz.

Ben şimdi bu saydığım bilimcilerden önce yaşayan bir doğabilimci gibi düşünüp, bu 18.-19. yüzyıl bilimcileriniñ değil de Galileo'nuñ kurduğu kavramlar üzerine éylemi tanımlama girişiminde bulunacağım. Bunu tabi ki, bugünkü bildiklerimiziñ sağladığı bakış açısıyla yapacağım, yoksa gerçekten o günlerde yaşasaydım usuma bile gelmezdi.

Galieo Galilei, 1632'de İtalyanca olarak yayınladığı "İki Başlıca Dünya Dizgesi Üzerine Tartışmalar [Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo]" adlı yapıtında nesneleriñ birbirine göre éylemsiz oldukları durumlarda hangisiniñ gerçekten hareket éttiğiniñ bilinemeyeceğini yazmıştır. Buna bugün görelilik ilkesi déniyor. Bu ilke kısaca, doğa yasalarınıñ birbirine göre éylemsiz gözlemciler için değişmez olduğunu, daha doğrusu doğa yasalarınıñ herkes için aynı olduğunu söylemektedir. Burada éylemi tanımlamadığımız için éylemsiz gözlemciden de bir halt añlaşılmaz. Bu nédenle, öyle bir tanım ortaya koymalıyız ki o tanım çerçevesinde değerlendirilen iki gözlemci aynı déñeyleri yaptığında aynı ilişkileri bulsunlar.

Galilei, bunu gémi örnekleriyle yapmıştır. Bugün gémileriñ sandığı gibi éylemsiz olmadığını artık biliyoruz. Ancak bir ân için bilmediğimizi düşünelim. İki géminiñ penceresiz iç odalarında bulunan iki deñeyci éle alalım. Bunlar dışarıyı göremedikleri için kendi gémileriniñ hareket édip étmediğini bilemiyorlar doğal olarak. Daha önce belli bir déñeyi yapmak için aralarında añlaşmış olsunlar. Örneğin, odanıñ tavanından nesneler bırakılsın ve hareketsizken düşecekleri noktadan né deñli saptığı ölçülsün.

Yapılan déñeylerde iki gözlemci de kendileriniñ hareketsiz olduklarını savunacaktır, hem de biri limanda durup, diğeri de sabit yélde yélkenler fora iken! Bunuñ nédeni, o dönemde yapılan gözlemiñ, gémiler arasındaki ortalama hıza bağlı olduğudur. Yoksa anlık hızlara bakacak olursak, ufak da olsa yéliñ hızı, géminiñ hızını étkileyecektir. Her şey güzel, éyi de; "birbirine göre éylemsiz" né demek?

Şimdi geometriye başvuralım. 


Éylemsizlik nédir?

Bir gözlemci, herhangi bir nesneniñ konumunu $x(t)$ ile işaretlesin. Burada $t$ simgesi, zaman içdeğişkenini bétimliyor: Her $t$ ânı için nesneniñ nerede olduğu $x(t)$ sayısı ile bélirlenir. Bu $x(t)$ sayısı bir gönderme olarak görülürse, onu $t$ 'niñ üsleri biçiminde yazabiliriz: $$x(t) = a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + ...$$ Bu polinom soñsuza dék sürüyor da olabilir (bkz: Taylor açılımı). Ancak biz doğanıñ eñ yalıñ biçimde davrandığını varsayalım. O halde $t$ 'ye bağlı eñ küçük parça $x(t) = a_0 + a_1 t$ olduğunu görürüz. Bu, özünde $t^2$ değeriniñ sıfıra çok yakın olduğundan tüm diğer terimleriñ ihmâl edilebilir olduğunu söylemeniñ başka bir yoludur. Yalıñlık olsun diye $x(t) = \tau + w t$ olacak şekilde adlandıralım katsayıları.

Şimdi gözlenen nesneniñ konumundaki bir değişime odaklanalım. Bu değişim, $x(t_1)$ konumundan $x(t_2)$ konumuna olan bir gidiş olsun.  Bu iki konumuñ farkını
\[\Delta x \equiv x(t_2) - x(t_1)\]
olarak bélirtelim. Aynısını zaman için de düşünebiliriz: $\Delta t = t_2 - t_1$. Bu durumda, iki değişimiñ oranınıñ, $$\frac{\Delta x}{\Delta t} = w$$ olduğunu görürüz, bu bildiğiñiz ortalama hız! Bir kéz daha bu ifâdeniñ değişiminiñ zaman değişimine göre oranını uygularsak, $$\frac{\Delta^2 x}{\Delta t^2} = 0$$ olduğunu kolaylıkla görebiliriz. Dikkat édilirse $t^2$ yi ihmâl éttiğimizde $x(t)$ niñ değişiminiñ değişimi sıfır oluyor. Burada $$t \mapsto at + b$$ şeklinde bir dönüşüm yaparsak, "değişiminiñ değişimi" ifâdesiniñ yiñe sıfır kaldığını görürüz. İşte bu dönüşüme doğrusalcı dönüşüm dénir, bu dönüşüme göre değişmeyen harekete ise doğrusalcı hareket dénir. Bu, gerçekten de o nesneniñ doğrusal hareketini betimler çünkü bu deñlemi çözmeye kalkarsañız, $x(t) = a_0 + a_1 t$ biçiminde bir çözüm élde édersiñiz! Bu da bize bir éylemsizlik tanımı sağlar:
Éylemsizlik. Hareket deñlemleri, $t \mapsto at+b$ biçimindeki doğrusalcı dönüşüm altında değişmez kalıyorsa, o nesne éylemsizdir.
Ancak bu bize hâla éylemi tanımlamadı, yalñızca éylemsizliği tanımladı! Daha dikkatli bakarsak, deñlemiñ sağ yanında "0" olmasaydı, deñlemler doğrusalcı dönüşümler altında değişmez kalmayacaktı. Daha açık olarak söylersek, deñlemiñ sağ yanında bir ifâde olması durumu için $$\frac{\Delta^2 x}{\Delta t^2} = F ( t)$$ deñlemi daha geñel bir bétimlemedir. Burada bilerek $F(t)$ ile gösterilen gönderme, nesneniñ doğrusalcı hareketini bozan tüm étkileşimleri içerir. Bu nicelik, ilk başta vérdiğimiz $x(t)$ niceliğiniñ t^2 veya daha yüksek üslere geñelleşmiş biçimine izin vérir. İngiliz bilimci Niuton (Newton), bu niceliğiñ "kuvvet bölü kütle" olduğunu ortaya koymuştur. Ancak bizim için şimdilik éylemiñ kaynağı dénmesi yéterlidir. 


İşte éylem!

Démin bir nesneden söz éttik, ancak birden çok nesne olabileceği gibi birden çok boyut da olabilir. Bu durumda $x(t)$ yérine $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$ hatta daha çoğunu bétimlemek üzere $\vec{r}(t)$ simgesini kullanacağım. Üzerindeki ok simgesi, onuñ yönlü (vektör) olduğunu bélirtiyor. Ayrıca $i=1,2, \ldots, n$ nesneleriñ adı olmak üzere, $\vec{r}_i (t)$ her bir nesneyi betimlemiş olur. Bu durumda, éylem déñlemimiz, $$\frac{\Delta^2 \vec{r}_i}{\Delta t^2} = \vec{F}_i (t)$$ biçimine varır. Dikkat éderseñiz, her nesne için, üç boyut olduğundan, üç tane deñlemimiz var, kısaca 3n tane deñlemiñ her birini $i$ ve yönlerden biri ile bélirtmiş oluyoruz.


Tam bu noktada $\vec{F}_i$ denen niceliği, tek bir geñel nicelikten türetebilmemiz gerekir çünkü burada bir $i$ takma adı var, oysa éylem dédiğiñ tüm étkileşimleri ve hareketleri bétimleyecekse, her nesneye özgü olmamalı, tümünü kapsamalı. Bir $U(x,t)$ göndermesi düşünelim. Bunuñ yalñızca bélli bir $i$ için olan $\Delta \vec{r}$ değişimine göre değişen bölümüne $\vec{F}_i$ diyelim. Démek istediğim, $\Delta U$ değişiminiñ $\Delta \vec{r}_i$ değişimine oranınıñ yalñızca $\vec{r}_i$ içeren bölümüne $\vec{F}_i$ diyelim. Bunu añlatmak için $\Delta$ yérine $\partial$ simgesi kullanılsın. Soñuçta aşağıdaki ifâde her zaman doğru olacaktır:$$\begin{array}{rcl} \Delta U &=& \sum_i \frac{\partial U}{\partial \vec{r}_i} \cdot \Delta \vec{r}_i \\ &=& \frac{\partial U}{\partial x_1} \Delta x_1 + \frac{\partial U}{\partial y_1} \Delta y_1 + \cdots + \frac{\partial U}{\partial z_n} \Delta z_n \end{array}$$ Burada kısaltma olsun diye, ilk dizedeki $\sum_i$ simgesi, tüm nesneler için sağındaki ifâdeniñ toplanacağını söylerken, $\cdot$ simgesi de iki yönlünüñ yalñızca aynı yönlerdeki çarpımını bétimlemek için kullanılmıştır ($\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z $ gibi). Ayrıca burada yönlünüñ bölüm olarak yazılmasınıñ simgesel olduğunu söylemekte yarar görüyorum, yoksa yönlüyü değil o yöndeki bileşenini bölüyoruz!


İşte, $\vec{F}_i$ diye $\frac{\partial U}{\partial \vec{r}_i}$ olsun. Amacımız, bu biçimde bir işlev görece bir $U$ göndermesi bulabilmek! Böyle bir $U(\vec{r}_i, t)$ göndermesi, herhangi bir şey olabilir mi? Yoksa bélli ölçütleri mi vardır? Bu tür soruları yanıtlamadan önce $U$ 'yu kullanarak éylemi tanımlayabileceğimizi görelim.

Daha önce bulmuş olduğumuz éylem déñleminiñ her yanını $\Delta \vec{r}_i$ ile çarpalım (ayrıca $F$ yi de yérine yazalım): $$\frac{\Delta^2 \vec{r}_i}{\Delta t^2} \cdot \Delta \vec{r}_i - \frac{\partial U}{\partial \vec{r}_i}\cdot \Delta \vec{r}_i =0$$ Şimdi, burada n tane déñlemimiz var. Bunları alt alta yazıp topladığımızı düşünelim: $$\sum_i \left[ \frac{\Delta^2 \vec{r}_i}{\Delta t^2} \cdot \Delta \vec{r}_i - \frac{\partial U}{\partial \vec{r}_i} \cdot \Delta \vec{r}_i \right]= 0$$ Burada ikinci terim, doğrudan $\Delta U$ oluverir! İlk terimi de biraz düzenlerseñiz $\frac12 \Delta \left( \frac{\Delta \vec{r}_i}{\Delta t} \cdot \frac{\Delta \vec{r}_i}{\Delta t}\right)$ olduğunu görebilirsiñiz (burası ilgili okuyucuya alıştırma olsun). Bu durumda $$\Delta \left( \frac12 \sum_i \frac{\Delta \vec{r}_i}{\Delta t} \cdot \frac{\Delta \vec{r}_i}{\Delta t} - U \right) = 0$$ diye bir soñuca ulaşılır. Burada éylemiñ aşağıdaki gibi tanımlanabildiğini düşünebiliriz:
Galilei éylemi. Yalıtılmış bir bölgede bulunan nesneleriñ (Galilei bakışı) éylemi, $T_i=\frac12 |\vec{v}_i|^2$ doğrusalcı éylem, $U$ doğrusalcı olmayan éylem ve $v_i$ herbiriniñ hızları olmak üzere, $$L_G \equiv (\Sigma_i T_i ) - U$$ biçiminde tanımlanır.
Burada gerçekten $\frac{\Delta L_G}{\Delta \vec{r}_i} = 0$ alınırsa, yukarıdaki éylem déñlemlerini élde éderiz. Ayrıca, $U=$sabit durumunda ise doğrudan ilk (F siz) déñlemimizi élde éderiz! İşte bu bize éylemsizlik ilkesini vérir: $U$ sabit ise nesneler éylemsizdir, değilse éylemlidir ve éyleminiñ nasıl bulunacağı da béllidir!

İşte buna Galilei tarzında azrı éylem ilkesi diyebiliriz.

Çünkü Hamilton'uñ éylem tanımı aşağıdaki gibi olup: $$S = \int_{t_1}^{t_2} L (\vec{r}_i, \vec{v}_i; t) dt$$ buradaki $L$ göndermesi Lagranj tarafından $$L \equiv T - U$$ olarak verilir. Hamilton, azrı (eñ az) éylem ilkesini ise $$\frac{\delta S}{\delta \vec{r}_i}=0$$ olarak ifâde éder. Buradaki $\delta$ simgesi, değişimiñ ötesinde her türlü farkı ya da türleşimi bétimler çünkü $S$ bir fönderme değildir, bir sayıdır ancak içinde bir göndermeniñ her değeri üzerinden toplama bulunur. Bu çözüldüğünde ise Öyler (Euler) ile Lagranj'ıñ bulduğu deñlemlere varılır, tıpkı yukarıdaki gibi. Öyler, éylem déñlemlerini yalñızca geometrik olarak eñ kısa yolu giden nesneler için bulabilmişti, Lagranj bunu doğabilimcil gözle yéniden yapmış, Hamilton da géñelleyip temel bir ilkeye ulaşmıştır. İşte bu yazıda da bu yolu Galilei dönemine uygun olarak yapmaya çalıştık.


Ya ilke yañlışsa?

Kişi, ilk başta "hadi oradan len!" diyebilir. Ancak, bunu bile ciddiyetle éle alıp, ona göre éyi bir yanıt vérebilmeliyiz. Yoksa bu ilkeniñ hakkını vérmiş sayılmayız. 

Bir ân için gerçekten éylemsizlik ilkesiniñ ya da azrı éylem ilkesiniñ yañlış olduğunu varsayalım. Eñ azından ilk başta, éylemsizlik ilkesi, kendisi üzerine felsefe patlatmak için daha yalıñ/açık görünüyor. Kişiniñ usuna "Bir nesne, üzerinde bir étkileşim yoksa, né diye hızını korusun ki?" ya da "Bir nesne, doğrusalcı olunca néden éylemsiz sayılsın ki?" sorusu gelebilir. Bu sorunuñ tersi daha doğrudur: "Bir nesne, durduk yére hızını (doğrusalcılığını) néden değiştirsin ki?"

Yazınıñ başında zaten doğrusalcı dönüşümler altında değişmez kalan durumuñ hızını koruyan durum olduğunu görmüştük: $$\frac{\Delta}{\Delta t} \left( \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} \right) = 0 \, \Rightarrow \, \vec{r} = \vec{r}_0 + \vec{v} t$$ Déme ki, fazladan étkileşim, doğrusalcılığı bozacak. Bozacak da, soñuçta neden doğrusalcı değişmezliği éylemsizlik olarak tanımlıyoruz? Soru özünde budur.

Bu soruları yanıtlamak için öncelikle duran bir nesne ele alalım. Biz bir gözlemciyiz ve nesne de yalñızca duruyor olsun. Şimdi başka bir gözlemci düşünelim, o duran nesneyi, o gözlemci nasıl görür? İkinci gözlemci ile birinci gözlemci birbirlerine göre ayrı hızlarda ise, ikinci gözlemci duran nesneyi kendi çerçevesinde duruyor olarak görmeyecektir. İvmeleri olan gözlemciler ise, arada bir ayrım gözlerler. İvmeleri ayrı ise (örneğin birinci gözlemci ikincisini ivmeli gidiyor olarak görüyorsa), duran nesne, diğer gözlemci tarafından hiçbir zaman duruyor ya da sabit hızla gidiyor olarak görülemez, sanki nesne sürekli hızını değiştiriyor gibi görür. Ancak ve ancak aynı ivmedeyse, nesneyi duruyor ya da sabit hızla gidiyor görür. Bu ayrım, özünde görelilikteki eşdeğerlik ilkesine deñ geliyor (ancak buna bu yazıda girmeyeceğim).

Soñuç.

Bélli ki, Hamilton azrı éylem ilkesi, Galilei tarafından daha kısıtlı olarak ($U=$sabit) düşünülmüştür. Galilei döneminde soñsuz küçükleriñ hesabı olmadığı için biz de buna uygun olarak işlemlerimizi yaptık. Niuton döneminde (kendisi ve Libniz -Leibniz-tarafından) soñsuz küçükler hesabı bulunmuş, böylece Niuton deñlemleri yazılabilmiştir. Ardından da azrı éylem ilkesi geliştirilmiştir. Bugün bu ilke Çağdaş Doğabiliminde de olduğu gibi kullanılır. Ancak niceli (quantum) kütleçekim kuramlarına ulaşmak için bu ilkeyi daha da géñelleştirmek gerektiği düşünülür. Nétekim, Faynman (Feynman) bu amaçla iz tümlevini (path integral) bulmuş, niceli alañ kuramını bu biçimde bétimleyebilmiştir. Ancak kütleçekimiñ niceli kuramında bu yöntem de işe yaramamış, herkesi olduğu gibi onu da yüz üstü bırakmıştır. İleride bir kişi daha geñel bir yöntem bulup kütleçekimini nicelileştirdiğinde nerede eksik düşündüğümüzü o zaman göreceğiz.

Soñuç olarak éylemsizlik, "nesneleriñ éylemlerini durduk yére bir néden olmaksızın  değiştiremeyeceklerini" bildirir, bunu doğrudan azrı éylem ilkesiyle de görebiliriz. Daha ayrıntılı bir déyişle éylemsizlik, birbirine göre doğrusalcı hareket éden gözlemcilerden éñ az biriniñ o nesneyi durgun görmesi durumudur. Birbirine göre éylemsiz gözlemciler ise ancak ve ancak aynı ivmeye sahip olanlar olabilir. Aynştayn'ıñ (Einstein) géñel görelilik kuramında, éylemsizliğiñ ivmeli durumlara da géñelleştirildiğini ancak bu ivmeniñ yalñızca kütle çekim kaynaklı olabileceğini söylemeliyim. Diğer her türlü ivme, éylemli sayılacaktır. Kısaca kütle çekimi, géñel görelilikte bir "kuvvet" sayılmıyor, doğrudan éylemsizliğiñ kapsamına giriyor.
















1 yorum:

  1. güzel bir anlatım olmuş, böyle anlatımlara ihtiyaç var bu yüzden bu yazılı anlatımlarının devamını diliyorum. beyniñe sağlıx beyim benimmm!! :D

    YanıtlayınSil